몬티홀 딜레마...이제서야 이해가 갔다. 취미 Life~

세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼에 참가했다. 한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 이때 어떤 사람이 예를 들어 1번 문을 선택했을 때, 게임쇼 진행자는 3번 문을 열어 문뒤에 염소가 있음을 보여주면서 1번 대신 2번을 선택하겠냐고 물었다. 이때 원래 선택했던 번호를 바꾸는 것이 유리할까?
- 출처: 위키페디아, http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AA%AC%ED%8B%B0_%ED%99%80_%EB%AC%B8%EC%A0%9C

위키페디아의 문제에는 잘 드러나지 않지만, 가장 중요한 조건은
사회자는 염소가 있는 문만 열 수 있다.
라는 조건이 있다.

이 조건에 따라 
내가 최초에 1/3 확률로 차가 있는 문을 맞추지 않는 이상, 남은 문에는 무조건 차가 들어있다.
라는 상황이 발생한다.

최초 선택에서 내가 선택한 것이 맞을 확률은 1/3이다. 이것은 자명하다.

1. 최초 선택이 맞을 경우, 내가 선택한 것을 유지하면 당첨, 바꾸면 실패.
2. 최초 선택이 틀릴 경우, 내가 선택한 것을 유지하면 실패, 바꾸면 당첨.

1번의 경우의 수는 1, 2번의 경우의 수는 2.
최초 선택이 맞을 확률 1/3, 틀릴 확률 2/3.
2/3의 확률에 대해서 선택을 바꾸는 경우에 당첨.

이것은 근본적으로 사회자가 "염소가 있는 문만 열 수 있다."는 조건 때문에 생기는 미묘함이다.
사회자가 아무 문이나 열 수 있다고 하면 두번째 선택으로 가지 못하는 경우
즉, 사회자가 차가 들어있는 문을 열어버리는 바람에 선택을 바꿀 기회조차 없이 게임이 끝나는 경우
를 없앴기 때문에 발생하는 직관의 혼란이다.


여전히 "선택을 바꾸는 것이 유리하다."라는 문장은 쉽게 납득하기 어렵다.
사회자가 꽝을 하나 제거했다고 해서 확률이 바뀌어 버린다.라는 문장도 이해가 쉽게 안된다.
직관적으로는 문 2개중 하나를 선택한 것이니 각 문은 1/2, 1/2일 것 같은데, 알고보면 1/3, 2/3이라는 사실은...참 신비롭다. =0=


내가 이해할 수 있는 말로 설명한 포스트 : http://www.herohan.pe.kr/30


아래 링크는 몬티홀 딜레마를 포함한 몇가지 딜레마들을 정리해 놓은 페이지. 재미삼아 보셈~
http://apmath.kku.edu/~seokko/paradox.html

"통계의 미학"이라는 책을 쓰신 최제호 님의 글을 "지식 프라임"이라는 책에서 보고, 페북의 최제호님 찾아서 물어물어보며 알게 됐다. 뜬금없는 질문에 성실히 답해주신 최제호님 고맙습니다. ^^


...참 오래된 이야기에 새삼스럽게 감탄하고 있다..;;


덧글

  • 새하늘 2016/04/08 00:00 # 삭제 답글

    이것은 '수학적 사고의 오류'의 일부입니다.

    처음부터 염소가 있는 문이 없어지기로 작정되어 있기에, 이 게임은 시작부터 차가 있는 문 하나와 염소가 있는 문 하나가 있는 게임으로 생각하는 직관이 필요합니다.

    시간적으로 문을 하나 선택한 이후에 염소가 있는 문을 하나 없애기에, 확률 계산이 1/3 x 1/2 등으로 표현되지만, 실제로는 그렇지 않습니다.

    처음부터 확률은 50%인 게임입니다. 그리고 나중에도 50%인 게임입니다.

    게임의 시작부터 이미 사회자가 염소가 있는 문 하나는 없애기로 결정되어 있기 때문에
    처음부터 두 개의 문에서(염소 하나, 차 하나) 하나를 선택하는 게임입니다.

    사회자가 만일 염소가 있는 지 없는 지 모르고 없애기로 했다면 확률은 1/3부터 시작하는 것이 맞으며, 그렇다고 해도 바꾸는 것과 안 바꾸는 것의 확률은 동일한 것입니다.

    하지만, 알고 있고 염소의 문을 없애기로 되어 있기때문에, 염소문 차문 두 개의 문 가운데서 선택하는 것이랍니다.
  • 새하늘 2016/04/08 00:00 # 삭제 답글

    이것은 '수학적 사고의 오류'의 일부입니다.

    처음부터 염소가 있는 문이 없어지기로 작정되어 있기에, 이 게임은 시작부터 차가 있는 문 하나와 염소가 있는 문 하나가 있는 게임으로 생각하는 직관이 필요합니다.

    시간적으로 문을 하나 선택한 이후에 염소가 있는 문을 하나 없애기에, 확률 계산이 1/3 x 1/2 등으로 표현되지만, 실제로는 그렇지 않습니다.

    처음부터 확률은 50%인 게임입니다. 그리고 나중에도 50%인 게임입니다.

    게임의 시작부터 이미 사회자가 염소가 있는 문 하나는 없애기로 결정되어 있기 때문에
    처음부터 두 개의 문에서(염소 하나, 차 하나) 하나를 선택하는 게임입니다.

    사회자가 만일 염소가 있는 지 없는 지 모르고 없애기로 했다면 확률은 1/3부터 시작하는 것이 맞으며, 그렇다고 해도 바꾸는 것과 안 바꾸는 것의 확률은 동일한 것입니다.

    하지만, 알고 있고 염소의 문을 없애기로 되어 있기때문에, 염소문 차문 두 개의 문 가운데서 선택하는 것이랍니다.
  • 새하늘 2016/04/08 00:00 # 삭제 답글

    이것은 '수학적 사고의 오류'의 일부입니다.

    처음부터 염소가 있는 문이 없어지기로 작정되어 있기에, 이 게임은 시작부터 차가 있는 문 하나와 염소가 있는 문 하나가 있는 게임으로 생각하는 직관이 필요합니다.

    시간적으로 문을 하나 선택한 이후에 염소가 있는 문을 하나 없애기에, 확률 계산이 1/3 x 1/2 등으로 표현되지만, 실제로는 그렇지 않습니다.

    처음부터 확률은 50%인 게임입니다. 그리고 나중에도 50%인 게임입니다.

    게임의 시작부터 이미 사회자가 염소가 있는 문 하나는 없애기로 결정되어 있기 때문에
    처음부터 두 개의 문에서(염소 하나, 차 하나) 하나를 선택하는 게임입니다.

    사회자가 만일 염소가 있는 지 없는 지 모르고 없애기로 했다면 확률은 1/3부터 시작하는 것이 맞으며, 그렇다고 해도 바꾸는 것과 안 바꾸는 것의 확률은 동일한 것입니다.

    하지만, 알고 있고 염소의 문을 없애기로 되어 있기때문에, 염소문 차문 두 개의 문 가운데서 선택하는 것이랍니다.
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